ГЛАВА ПЕРША
ПРО ПРИРОДУ МАТЕМАТИЧНОГО МІРКУВАННЯ
I
Сама можливість математичної науки здається нерозв'язним протиріччям. Якщо ця наука лише на вигляд дедуктивна, звідки ця досконала строгість, яку ніхто не оскаржує? Якщо, навпаки, усі положення, які вона висловлює, можна вивести в порядку за правилами формальної логіки, то яким чином математика не зводиться до безкінечної тавтології? Силогізм не може навчити нас нічому суттєво новому, і якщо все має випливати із закону тотожності, то все також має до нього і зводитися. Чи тоді ми повинні визнати, що формулювання всіх теорем, якими наповнено стільки томів, є лише непрямі способи сказати, що А є А?
Безсумнівно, ми можемо повернутися до аксіом, які є джерелом усіх цих міркувань. Якщо ми відчуваємо, що їх неможливо звести до принципу суперечності, якщо ми відмовляємося бачити в них щось більше, ніж експериментальні факти, які нѳ могли б мати характер математичної необхідності, у нас залишився ще один ресурс: ми можемо віднести їх до апріорних синтетичних поглядів. Але це не вирішення проблеми — це означає тільки дати їй назву; і навіть якби природа синтетичних поглядів більше не мала для нас ніякої таємниці, суперечність не зникла б; її було б тільки віддалено. Силогістичне міркування залишається неспроможним додати що-небудь до наданих йому даних; ці дані зводяться до кількох аксіом, і, крім них, нічого нового неможливо було б знайти в висновках
Жодна теорема не могла б бути новою, якщо в її доказ не входило б нової аксіоми; міркування могло б тільки дати нам істини явно очевидні, що мають джерелом інтуїцію; воно було б тільки проміжним марнослів'ям. Тоді, мабуть, виникло б питання: чи служить силогічний апарат лише для маскування того, що ми запозичили?
Протиріччя вразить нас тим більше, якщо ми відкриємо будь-яку книжку з математики; на кожній сторінці автор повідомляє про свій намір узагальнити якесь уже відоме положення. Чи означає це, що математичний метод переходить від окремого до загального, і якщо так, то як його можна назвати дедуктивним?
Нарешті, якби наука про числа була чисто аналітичною або могла бути аналітично виведена з кількох синтетичних суджень, здається, що досить потужний розум міг би одним поглядом сприйняти всі її істини; більше того: можна було б навіть сподіватися, що колись буде винайдено мову, досить просту, щоб ці істини стали очевидними будь-якій людині звичайного розуму.
Навіть якщо відмовитися від припущення цих висновків, слід визнати, що математичне міркування саме по собі має свого роду творчу силу, і тому його слід відрізняти від силогізму. І відмінність повинна бути глибокою. Наприклад, ми не будемо шукати розгадки таємниці в частому використанні правила, згідно з яким одна й та сама операція, однаково застосована до двох рівних чисел, дає тотожні результати. Усі ці способи міркування, незалежно від того, чи зводяться вони до силогізму у власному сенсі чи ні - зберігають аналітичний характер і тому є безсилими.
II
Запитання цього роду обговорюються давно. Ще Лейбніц намагався довести, що 2 і 2 становлять 4; розглянемо коротко його доказ. Я припускаю, що визначено число 1 і операція x+1, що полягає у додаванні 1 до даного числа x. Ці визначення, якими б вони не були, не входитимуть до наступних міркувань. Далі я визначаю числа 2, 3, 4 рівностями:
і таким же чином я визначаю операцію x + 2 співвідношенням
Враховуючи це, маємо
Не можна заперечувати, що це міркування є суто аналітичним. Але спитайте будь-якого математика, і він вам скаже: „Це власне кажучи, не доказ, а перевірка. Ми обмежилися зведенням двох суто умовних визначень і констатували їх тотожність; нічого нового ми не дізналися. Перевірка відрізняється від доказу саме тим, що вона аналітична і ні до чого не веде. Вона ні до чого не веде, тому що висновок є тільки переклад засновок іншою мовою. Справжній доказ, з іншого боку, є плідним, оскільки висновок у певному сенсі є більш загальним, ніж посилки (засновки). Рівність 2 + 2 = 4 могла підлягати перевірці тільки тому, що вона є окремим випадком. Кожне окреме висловлювання в математиці можна завжди перевірити одним і тим же способом. Але якби математику можна було звести до ряду таких перевірок, вона не була б наукою. Шахіст, наприклад, не створює науки, вигравши фігуру. Немає науки, крім науки загальної. Можна навіть сказати, що мета точних наук полягає в тому, щоб відмовитися від цих прямих перевірок.
III
Давайте тепер подивимося на роботу математика і спробуємо пояснити собі успішність його прийомів. Завдання це не позбавлене труднощів; недостатньо навмання відкрити книгу й проаналізувати будь-які докази, які ми можемо зустріти. Ми повинні перш за все виключити Геометрію, де питання ускладнюється складними завданнями, що стосуються ролі постулатів, природи та походження поняття простору. З аналогічних причин ми не можемо звертатися і до аналізу нескінченно малих. Ми повинні шукати математичну думку там, де вона залишилася чистою, тобто в арифметиці. Але ми все ще повинні вибрати; у вищих частинах теорії чисел первісні математичні ідеї вже зазнали настільки глибокої розробки, що їх стає важко аналізувати.
Отже, саме в засадах Арифметики ми повинні очікувати знайти пояснення, яке шукаємо; але буває, що саме в доказах найелементарніших теорем автори класичних трактатів виявляли найменшу точність і строгість. Не треба ставити їм це у провину; вони підкорилися необхідності. Початківці не підготовлені до справжньої математичної суворості; вони побачили б у ній тільки порожні та нудні тонкощі. Було б марною тратою часу намагатися зробити їх більш вимогливими; вони повинні швидко і без зупинки пройти дорогу, якою колись повільно проходили засновники науки.
Чому ж потрібна така тривала підготовка, щоб звикнути до цієї досконалої суворості, яка, здається, мала б від природи засвоюватися кожному правильному розуму? Це логічне та психологічне завдання, яке заслуговує на вивчення. Але ми не будемо на ньому зупинятися; воно є стороннім для нашого предмету. Єдине, на чому я хотів би наполягати, це те, що ми зазнаємо невдачі в нашій меті, якщо не реконструюємо докази елементарних теорем і не надамо їм приблизну форму, в якій вони залишилися, щоб не втомлювати новачка, а форму, яка задовольнить досвідченого математика.
Визначення додавання
Я припускаю, що операція x + 1 визначена; вона полягає в додаванні числа 1 до заданого числа x. Що б не говорили про це визначення, воно не входить у подальші міркування.
Тепер ми повинні визначити операцію x + a, яка полягає в додаванні числа a до будь-якого числа x. Припустимо, що ми визначили операцію
x + (a − 1);
Тоді операція x + a буде визначатися рівністю
(1) x + a = [x + (a − 1)] + 1.
Ми дізнаємось, що таке x+a, коли дізнаємось, що таке x+(a−1), і оскільки я припустив, що для початку ми знаємо, що таке x + 1, ми можемо визначити послідовними "редукціями" операції x + 2, x + 3 і т. д. Це визначення заслуговує на мить уваги; воно має особливий характер, що відрізняє його навіть на цьому етапі від суто логічного визначення; рівність (1), насправді, містить безліч різних визначень, і кожне з них має сенс тільки тоді, коли відомо інше значення, його попереднього.
Властивості додавання
Асоціативність. —Я стверджую, що
a + (b + c) = (a + b) + c;
Справді, теорема справедлива для c = 1; у цьому випадку вона зображується рівністю:
a + (b + 1) = (a + b) + 1;
А це, крім відмінності в позначеннях, є нічим іншим, як рівністю (1), за допомогою якої я щойно окреслив додавання. Припустимо, що теорема вірна для c = y, я кажу, що вона буде вірною для c = y + 1. Нехай
(a + b) + y = a + (b + y);
з цього випливає, що
[(a + b) + y] + 1 = [a + (b + y)] + 1;
або за визначенням (1),
(a + b) + (y + 1) = a + (b + y + 1) = a + [b + (y + 1)];
який за допомогою серії суто аналітичних висновків показує, що теорема вірна для y + 1. Будучи вірною для c = 1, ми бачимо, що вона послідовно вірна для c = 2, c = 3 тощо.
Комутативність. — (1). Я стверджую, що
a + 1 = 1 + a.
Теорема очевидно справедлива для a = 1; шляхом суто аналітичних міркувань можна перевірити, що якщо вона справедлива для a = y , то вона буде справедлива для a = y + 1; тепер якщо це вірно для a = 1, це вірно для a = 2, для a = 3 і т. д.; Саме це мається на увазі під словами, що доказ доведено шляхом "редукції".
(2) Я стверджую, що
a + b = b + a.
Щойно було показано, що теорема справедлива для b = 1, і можна аналітично перевірити, що якщо вона справедлива для b = β, вона буде вірною і для b = β + 1. Таким чином, твердження доведено шляхом редукції.
Визначення множення
Ми визначимо множення за допомогою рівностей:
(1) a × 1 = a;
(2) a × b = [a × (b − 1)] + a.
Обидві рівності містять нескінченну кількість визначень; після того, як дано визначення a × 1, воно дозволяє визначити послідовно: a × 2, a × 3 і так далі.
Властивості множення
Дистрибутивність. — Я стверджую, що
(a + b) × с = (a × с) + (b × с).
Ми можемо перевірити аналітично, що теорема справедлива для с = 1; тоді, якщо це вірно для с = y, це буде вірним для с = y + 1. Пропозицію знову доведено редукцією.
Комутативність. — Я стверджую, що
a × 1 = 1 × a.
Теорема очевидна для a = 1. Ми можемо аналітично перевірити, що якщо вона вірна для a = α, вона буде вірною і для a = α + 1.
(2) Я стверджую, що
a × b = b × a.
Теорему щойно було доведено для b = 1. Ми можемо аналітично перевірити, що якщо вона вірна для b = β, то вона буде вірна і для b = β + 1.
IV.
Цю монотонну низку міркувань тепер можна відкласти; але сама їх монотонність сприяла кращому виділенню одноманітного процесу, який ми знаходимо на кожному кроці. Цей процес є доказом шляхом редукції. Спочатку ми покажемо, що теорема справедлива для n = 1; потім ми показуємо, що якщо це вірно для n - 1, то це вірно і для n, і ми робимо висновок, що це вірно для всіх цілих чисел.
Ми щойно бачили, як можна скористатися цим для доказу правил додавання і множення, тобто правил алгебраїчного обчислення; це обчислення є інструментом перетворення, яке застосовується в набагато більшій кількості різноманітних комбінацій, ніж простий силогізм; але це все ще суто аналітичний інструмент, він нездатний навчити нас нічому новому. Якби математика не мала іншого інструменту, вона негайно зупинилася б у своєму розвитку; але вона знову звертається до того самого процесу, тобто до міркування шляхом редукції, і може продовжувати свій рух вперед.
Тоді, якщо ми уважно подивимося, ми знайдемо цей спосіб міркування на кожному кроці, або в простій формі, яку ми щойно надали йому, або в більш-менш модифікованій. Тому це математичне міркування, перш за все, і ми повинні розглянути його ближче.
V.
Суттєвою характеристикою міркування шляхом редукції є те, що воно містить у собі безліч силогізмів, зосереджених, так би мовити, в одній формулі. Щоб краще можна було це усвідомити, я зараз висловлю ці силогізми один за одним у послідовному розташуванні. Це по суті гіпотетичні силогізми.
Теорема вірна для числа 1.
Якщо ж вона справедлива для 1, вона справедлива для 2.
Отже, вона вірна для 2.
Якщо ж вона вірна для 2, вона вірна для 3.
Отже вона вірна для 3, і так далі.
Ми бачимо, що висновок кожного силогізму служить наступному меншою засновкою. Крім того, головні частини всіх наших силогізмів можна звести до однієї форми. Якщо теорема справедлива для n − 1, вона справедлива і для n.
Отже, ми бачимо, що, в міркуванні шляхом редукцій, ми обмежуємося виголошенням мінору першого силогізму та загальної формули, яка містить як окремі випадки всі головні. Таким чином, цей нескінченний ряд силогізмів зводиться до фрази з кількох рядків.
Таким чином, очевидно, що міркування шляхом редукцій обмежуються виразом меншої засновки першого силогізму і загальної формули, яка у вигляді окремих випадків містить у собі більші засновки. Цей нескінченний ряд силогізмів зводиться до фрази з кількох рядків.
Тепер легко зрозуміти, чому кожен окремий наслідок теореми можна, як я вже пояснив вище, перевірити суто аналітичними процесами. Якщо замість того, щоб доводити, що наша теорема вірна для всіх чисел, ми хочемо лише показати, що вона вірна, наприклад, для числа 6, достатньо буде встановити перші п'ять силогізмів нашого послідовного ряду. Нам знадобиться 9, якщо ми хочемо довести це для числа 10; для більшої кількості нам знадобиться ще більше; але яким би великим не було число, ми завжди його досягнемо, і аналітична перевірка завжди буде можливою.
Але як би далеко ми не зайшли, ми ніколи не досягнемо загальної теореми, застосовної до всіх чисел, яка єдина є об’єктом науки. Щоб досягти цього, нам потрібна нескінченна кількість силогізмів, потрібно перескочити прірву, яку ніколи не буде в змозі заповнити терпенія аналітика, яке обмежується одними засобами формальної логіки.
Я запитав на початку, чому ми не можемо уявити розум, достатньо потужний, щоб з першого погляду побачити всю математичну істину. Тепер відповідь проста. Шахіст може розрахувати вперед чотири, п'ять ходів, але, яким би незвичайним гравцем він не був, він завжди передбачить лише кінцеве число ходів; якщо він застосує свої здібності до Арифметики, він не буде в змозі помітити в ній загальних істин шляхом однієї безпосередньої інтуїції, він не буде в змозі обійтися без допомоги міркування шляхом редукції при доказі найнезначнішої теореми, бо це інструмент, що дозволяє переходити від кінцевого до нескінченного. Цей інструмент завжди корисний, оскільки він дозволяє нам перестрибувати через скільки завгодно етапів; це звільняє нас від необхідності довгих, нудних і монотонних перевірок, які швидко стануть нездійсненними. Аналітична перевірка безупинно наближала б нас до загальної теореми, ніколи не дозволяючи її досягти.
У цій галузі арифметики ми можемо вважати себе дуже далекими від аналізу нескінченно малих, але ідея математичної нескінченності вже відіграє переважаючу роль, і без неї взагалі не було б науки, оскільки не було б нічого загального.
VI.
Погляди, на яких ґрунтується спосіб редукцій, можуть бути представлені в інших формах; ми можемо сказати, наприклад, що в будь-якій скінченній колекції різних цілих чисел завжди є одне, яке менше будь-якого іншого. Ми можемо легко переходити від одного висловлювання до іншого і, таким чином, створити собі ілюзію, ніби ми довели, що міркування шляхом редукції є законним. Але врешті-решт доведеться зупинитися; ми завжди прийдемо до недоказної аксіоми, яка в основі буде всього лише те положення, яке ми повинні були довести, перекладене іншою мовою.
Таким чином, ми не можемо уникнути висновку, що спосіб міркування шляхом редукції не випливає із закону суперечності, і також не може прийти до нас із експерименту. Експеримент може навчити нас, що правило вірне, наприклад, для перших десяти або першої сотні чисел; він не може простягатися на нескінечний ряд чисел, а лише на більшу або меншу частину цього ряду, завжди обмежену.
Якби йшлося лише про це, закон суперечності був би достатнім, — він завжди дозволив би нам розвинути стільки силогізмів, скільки ми бажаємо; лише тоді, коли мова йде про єдину формулу, яка охоплює нескінченну кількість силогізмів, цей принцип руйнується, і тут також експеримент безсилий допомогти. Це правило, недоступне для аналітичного доказу та експерименту, є точним зразком синтетичного апріорного судження. З іншого боку, не можна бачити в ньому тільки умови, як у випадку з постулатами геометрії.
Чому ж тоді ця точка зору нав’язана нам із такою непереборною кількістю доказів? Це тому, що це лише підтвердження сили розуму, який знає, що він може уявити нескінченне повторення тієї самої дії, коли ця дія колись стає можливою. Розум має безпосередню інтуїцію цієї сили, і експеримент може бути для нього лише можливістю використати її, а отже, усвідомити її.
Але скажуть, якщо чистий експеримент не може виправдати міркування шляхом редукції, то чи буде те саме щодо експерименту, підтримуваного індукцією. Ми послідовно бачимо, що теорема справедлива щодо числа 1, числа 2, числа 3 і так далі — ми кажемо, що закон очевидний, і це так само, як і кожен фізичний закон, який ґрунтується на дуже великій, але обмеженій кількості спостережень.
Не можна не визнати, що тут існує разюча аналогія зі звичайними способами індукції. Проте є й суттєва різниця. Індукція, що застосовується у фізичних науках, завжди недостовірна, тому що вона спирається на віру у загальний порядок Всесвіту,— порядок, який є зовнішнім для нас. Математична індукція — тобто доказ шляхом редукції, навпаки, представляється з необхідністю, тому що вона є лише твердженням властивості самого розуму.
VII.
Математики, як я вже казав раніше, завжди прагнуть узагальнити отримані ними положення. Щоб не шукати іншого прикладу, ми недавно довели рівність:
a + 1 = 1 + a,
і ми потім використали це для встановлення рівності
a + b = b + a,
яка очевидно є більш загальною. Таким чином, математика, як і інші науки, може йти від часткового до загального. Це факт, який на початку цього дослідження здавався нам незрозумілим, але який втрачає всю таємничість для нас, після того, як була встановлена аналогія між доказом шляхом редукдії і між звичайною індукцією.
Немає сумніву, що редуктивне математичне міркування та індуктивне фізичне міркування базуються на різних засадах; але вони рухаються паралельними лініями та в одному напрямку, а саме, від часткового до загального. Давайте розглянемо цей випадок трохи детальніше. Щоб довести рівність:
(1) a + 2 = 2 + a,
нам достатньо застосувати правило a + 1 = 1 + a двічі, та написати:
(2) a + 2 = a + 1 + 1 = 1 + a + 1 = 1 + 1 + a = 2 + a.
Рівність (2), виведена таким чином чисто аналітично з рівності (1), не є простим окремим випадком: це щось інше. Тому, не можна сказати, щоб ми навіть у дійсно аналітичній та дедуктивній частині математичних міркувань рухалися від загального до часткового у звичайному розумінні цих слів. Дві сторони рівності (2) є просто складнішими комбінаціями, ніж дві сторони рівності (1), і аналіз служить лише для того, щоб відокремити елементи, які входять до цих комбінацій, і вивчити їхні співвідношення.
Отже, математики йдуть вперед за допомогою «конструювання», вони «будують» комбінації все більш і більш складні. Повертаючись потім через аналіз цих комбінацій, цих, так би мовити, сукупностей, до їх початкових елементів, вони помічають співвідношення цих елементів і виводять звідси співвідношення самих сукупностей. Процес є суто аналітичним, але він не є переходом від загального до часткового, оскільки сукупності, очевидно, не можна розглядати як більш часткові, ніж їхні складові частини.
Цьому процесу «будівництва» справедливо надається велике значення, і деякі стверджують, що бачать у ньому необхідну й достатню умову прогресу точних наук. Безсумнівно, необхідно, але недостатньо! Щоб конструкція була корисною, а не просто марною тратою розумових зусиль, щоб вона слугувала сходинкою до вищих речей, вона, перш за все, повинна володіти певною єдністю, що дозволяє нам бачити щось більше, ніж зіставлення її складових частин.
Або, точніше, має бути якась перевага в розгляді конструкції, порівняно з розглядом її елементів. У чому може бути ця перевага? Навіщо міркувати про багатокутник, наприклад, який завжди розкладається на трикутники, а не про елементарні трикутники? Це тому, що існують властивості багатокутників з будь-якою кількістю сторін, і їх можна негайно застосувати до будь-якого конкретного виду багатокутника. У більшості випадків ці властивості можна виявити лише після тривалих зусиль, безпосередньо вивчаючи співвідношення елементарних трикутників. Якщо чотирикутник є чимось більшим, ніж зіставлення двох трикутників, це тому, що він належить до роду багатокутників.
Конструкція стає цікавою лише тоді, коли її можна поставити поряд з іншими аналогічними конструкціями для формування видів того самого роду. Для цього ми обов'язково повинні повернутися від часткового до загального, піднявшись на одну чи кілька сходинок. Аналітичний процес «по конструкції» не змушує нас опускатися, але залишає нас на тому ж рівні. Ми можемо піднятися вище лише за допомогою математичної індукції, бо лише з неї ми можемо дізнатися щось нове. Без допомоги цієї індукції, яка в певних аспектах відрізняється від фізичної індукції, але є такою ж плідною, як і фізична індукція, конструкція була б безсилою створити науку.
Зауважимо, нарешті, що ця індукція можлива лише в тому випадку, якщо одну і ту ж операцію можна повторювати нескінченно. Ось чому теорія шахів ніколи не може стати наукою, оскільки різні ходи однієї фігури обмежені й не схожі один на одного.
Переклад Бачиш С.