Коли ми займаємося дослідженням основ науки, ми повинні створити систему аксіом, яка містить точний і повний опис відносин, що існують між елементарними ідеями цієї науки. Встановлені таким чином аксіоми є водночас визначеннями цих елементарних ідей; і жодне твердження у сфері науки, основу якої ми перевіряємо, не вважається правильним, якщо його не можна вивести з цих аксіом за допомогою кінцевої кількості логічних висновків. При ближчому розгляді виникає питання: чи залежать якимось чином певні твердження окремих аксіом одне від одного, і чи не можуть аксіоми, таким чином, містити певні спільні частини, які повинні бути ізольовані, якщо хтось хоче прийти до системи аксіом які мають бути абсолютно незалежними один від одного.
Але перш за все я хочу позначити наступне як найважливіше серед численних питань, які можна поставити стосовно аксіом: довести, що вони не суперечать одна одній, тобто що скінченна кількість логічних кроків, заснованих на них, ніколи не зможе призводять до суперечливих результатів.
Доказ несуперечності аксіом геометрії досягається тим, що будується відповідна числова область (поле чисел), щоб аналогічні співвідношення між числами цього поля відповідали геометричним аксіомам. Тому будь-яке протиріччя у висновках із геометричних аксіом має бути виявлено в арифметиці цього поля чисел (числової області). Таким чином, бажаний доказ несуперечності аксіом геометрії зводиться до пропозиції про несуперечність аксіом арифметики.
З іншого боку, для доказу несуперечності арифметичних аксіом необхідний прямий метод. Аксіоми арифметики - це, по суті, не що інше, як відомі правила обчислення з додаванням аксіоми неперервності. Я нещодавно виклав цю систему і замінив при цьому аксіому неперервності двома простішими аксіомами, відомою аксіомою Архімеда і новою аксіомою, зміст якої полягає в наступному: числа представляють сукупність таких елементів, які при збереженні решти всіх аксіом не допускають ніякого розширення (аксіома повноти). Я переконаний, що вдасться знайти прямий доказ несуперечності аксіом арифметики шляхом ретельного вивчення та відповідної модифікації відомих методів міркування в теорії ірраціональних чисел.
Щоб показати важливість проблеми з іншої точки зору, я додаю наступне спостереження: якщо поняттю приписують суперечливі атрибути, я кажу, що з математичної точки зору поняття не існує. Так, наприклад, дійсне число, квадрат якого дорівнює -1, математично не існує. Але якщо можна довести, що атрибути, приписані поняттю, ніколи не можуть призвести до суперечності шляхом застосування скінченної кількості логічних висновків, я скажу, що математичне існування поняття (наприклад, числа або функції, що задовольняє певні умови), тим самим доведено. У розглянутому випадку, де ми маємо справу з аксіомами дійсних чисел в арифметиці, доказ несуперечності аксіом є водночас доказом математичного існування повної системи дійсних чисел або континууму. Дійсно, коли доказ несуперечності аксіом буде повністю завершено, сумніви, які іноді висловлювалися щодо існування повної системи дійсних чисел, стануть абсолютно безпідставними. Сукупність дійсних чисел, тобто континуум відповідно до щойно зазначеної точки зору, не є сукупністю всіх можливих рядів у десяткових дробах або всіх можливих законів, згідно з якими можуть діяти елементи фундаментального ряду. Це скоріше система елементів, співвідношення між якими регулюються встановленими аксіомами і для якої істинними є всі положення, і лише ті, які можна вивести з аксіом за допомогою кінцевої кількості логічних висновків. На мій погляд, концепція континууму може бути логічно обґрунтована лише в цьому сенсі. Мені справді здається, що це найкраще відповідає також тому, що підказує нам досвід та інтуїція. Отже, поняття континууму або навіть поняття системи всіх функцій існує точно в тому ж сенсі, що й система цілих раціональних чисел або як канторові класи і потужності вищих порядків. Бо я переконаний, що існування останнього, як і існування континууму, можна довести у вказаному мною сенсі; на відміну від системи всіх кардинальних чисел або всіх алефів Кантора, для яких, як це можна показати, не можна побудувати несуперечливу систему аксіом в моєму значенні і які, отже, в моїх термінах є поняттям, що математично не існує.
Переклад Бачиш С.